Skip directly to content

बालवाडीतील गणित

बालवाडीत येणार्‍या मुलांसाठी गणिताचा कार्यक्रम आखताना सामान्यपणे अंक परिचयावर व पाठांतरावर भर देण्यात येतो. पालक, शिक्षक या दोघांच्याहीकडून मुलांनी अंकचिन्ह लक्षात ठेवणे व उजळणी म्हणणे, अशा अपेक्षा असतात. मात्र गणितातील संकल्पना समजणे, तर्क करण्याची क्षमता विकसित होणे, यांवर फारसे लक्ष दिले जात नाही. खरे तर गणित शिक्षणात, निदान बालवाडीच्या तरी, संकल्पना स्पष्ट होणे व तर्कसंगत विचाराला सुरूवात होणे, यांवर भर असायला हवा.

लहान मुलांची विचार करण्याची पद्धत मोठ्या माणसांपेक्षा गुणात्मकदृष्ट्या वेगळी असते. आपल्याला सहज वाटणार्‍या गोष्टी अनेकदा मुलांना पटत नाहीत म्हणून मुले अनेकदा आपल्याला तर्कविसंगत वाटणारी उत्तरे देतात. मुलांच्या विचारातील ही विसंगती दूर होण्यासाठी त्यांना मूर्त पातळीवर योग्य अनुभव मिळणे गरजेचे आहे. अनुभवाच्या जोडीला योग्य अशी भाषा वापरली गेली म्हणजे हळूहळू तर्कसंगत विचार करणे मुलांना जमू लागते.
या अभ्यासक्रमाची रचना करताना मुलांच्या शिकण्याच्या नैसर्गिक पद्धतीवर भर देण्यात आला आहे. पाठांतरापेक्षा, लक्षात ठेवण्यापेक्षा, प्रत्यक्ष करून समजून घेण्याच्या आणि समजून वापरून पाहण्याच्या संकल्पनांचा समावेश केला आहे. मोठ्या शिशुवर्गाच्या शेवटी मुले २० पर्यंतच्याच संख्या शिकतात. पण त्यांचा वापर ती अनेक प्रकारे करतात. संख्यांशी संबंधित अनेक संकल्पना मुले या २० संख्यांच्या मदतीने आत्मसात करतात. एकदा संकल्पना नीट कळली म्हणजे पुढील संख्यांच्या संदर्भात तिचा विस्तार करणे मुलांना सहज जमते असा अनुभव आहे. या गणिताच्या अभ्यासक्रमात एकूण सहा क्षेत्रे आहेत.
 
1. गणन पूरक संकल्पना
 
2. संख्या ज्ञान
 
3. संख्यावरील क्रिया
 
4. मापन
 
5. अपूर्णांक
 
6. भौमितिक आकार व अवकाशीय समज
 
1) गणन पूरक संकल्पना
 
प्रत्यक्ष संख्याचा वापर करून अमूर्त पातळीवर गणन करण्याआधी काही एक बौद्धिक तयारी व्हावी लागते. काही संकल्पना स्पष्ट असल्या तर गणन सुलभ व अर्थपूर्ण होते. या गणनपूरक संकल्पना पुढीलप्रमाणे आहेत.
 
तुलना
 
वर्गीकरण
 
क्रमवारी
 
एकास एक संगती
 
तुलना
 
वजन, आकारमान, लांबी, रुंदी, पोत असे वस्तूचे विविध गुणधर्म असतात. या गुणधर्माचा वापर करून वस्तूंची परस्परांशी तुलना करता येते. उदा. दोन लाकडाचे ठोकळे घेतल्यास त्यांच्या संदर्भात पुढीलप्रमाणे तुलना-दर्शन विधाने करता येतील.
 
हा ठोकळा त्या ठोकळ्यापेक्षा जड आहे.
 
तो ठोकळा या ठोकळ्यापेक्षा मोठा आहे.
 
या ठोकळ्याची लांबी त्या ठोकळ्याच्या लांबीपेक्षा जास्त आहे.
 
याप्रकारे दोन वस्तूंची तुलना करताना, मुले, जड, लांब, जास्त, कमी, हलका, रुंद यासारख्या विशेषणांचा ‘पेक्षा’ हा सापेक्ष संबंध दर्शवणारा शब्द वापरून करायला शिकतात. दोन वस्तूंची अशाप्रकारे तुलना करणे, हे अमूर्त पातळीवरील विचारांना चालना देते. प्रसिद्ध मानसशास्त्रज्ञ पियाजे यांच्या मते, बालवाडीच्या वयातील मुले अशाप्रकारची तुलना करताना एकेका गुणधर्माचा सुटा तार्किक विचार करीत नाही. तर्क करण्याऐवजी प्रत्यक्ष दिसणार्‍या गोष्टींवर त्यांचा जास्त विश्वास बसतो. उदाहरणार्थ, कापूस भरलेली मोठ्या आकाराची पिशवी व लोखंडाचा कीस भरलेली त्या पिशवीपेक्षा लहान आकारमानाची पण जड पिशवी मुलाला दाखवल्यास, मुलाला मोठ्या आकारमानाची पिशवीच जड आहे असे वाटते. कारण, आकारमान व वजन ह्या परस्परांवर अवलंबून नसणार्‍या बाबी आहेत, हे समजण्याची मुलाची तयारी बालवाडीच्या वयात झालेली नसते, मुलाला वर सांगितलेली बाब काही विशिष्ट मानसिक संरचना तयार झाल्याखेरीज कळत नाही. या संरचना विकसित होताना मुलांना प्रत्यक्ष वस्तू, साधने यांच्या आधारे अनुभव देणे गरजेचे असते. 
 
वर्गीकरण
 
संख्यांची ओळख करून देताना आपण संख्या हा समुहाचा गुणधर्म म्हणून शिकवतो. वजन, आकारमान इत्यादी वापरून आपण ज्याप्रमाणे दोन वस्तूंची तुलना करू शकतो त्याचप्रमाणे संख्या हा गुणधर्म वापरून आपण दोन समुहांची तुलना करू शकतो. समूह निश्चित नसले तर संख्येला अर्थच उरत नाही. उदा. ‘मला पाच फुले, पाने आणून दे’ अशी सूचना दिल्यास कोणी ‘तीन फुले दोन पाने’ अशा वस्तू आणून देतील. याचाच अर्थ फुले किंवा पाने अशा निश्चित समूह ठरवल्याखेरीज पाच या संख्येला अर्थ उरत नाही. त्यामुळे समूह निश्चित करता येणे, ही संख्या संबोधनाच्या दृष्टीने महत्त्वाची संकल्पना आहे. वस्तूंचे समूह वेगवेगळ्या प्रकारे बनवता येतात. समूह बनवताना वस्तूंचे एक, दोन अथवा त्यापेक्षा जास्त गुणधर्म लक्षात घेतले जाऊ शकतात.
 
क्रमवारी
 
क्रम लावता येणे ही गणनातील एक आवश्यकता अशी क्रिया आहे. संख्यांचा क्रम लावता येणे ही अमूर्त पातळीवरील क्रिया आहे. त्याआधी प्रत्यक्ष वस्तूंचा वापर करून त्यामधील एखाद्या गुणधर्माच्या आधारे क्रम लावायला सांगितल्यास ‘क्रम लावणे म्हणेज काय ?’ ही संकल्पना मुलांना चटकन स्पष्ट होते. यातच चढता क्रम, उतरता क्रम हे संकेत मुलांना स्पष्ट करून सांगता येतात. ही संकल्पना मूर्त वस्तूंचा आधारे स्पष्ट झाल्यावर संख्यांची किंमत लक्षात घेऊन क्रम लावणे मुलांना सुलभ होते.
 
एकास एक संगती
 
प्रत्यक्ष मोजणी न करता देखील एखाद्या समुहातील घटकांची संख्या दुसर्‍या समुहातील घटकांपेक्षा कमी, अधिक अथवा सारखीच आहे, हे ठरवता येते. एखादा समूह दुसर्‍यापेक्षा संख्येने जास्त आहे हे प्रत्यक्ष मोजणी न करताही समजते. यासाठी एका समुहातील एक घटकाची दुसर्‍या समुहातील घटकांना जोडी मिळत नाही तो समूह मोठा असतो. उदाहरणार्थ पेन्सिल व खोडरबरे यांच्या जोड्या लावल्या असता, पेन्सिली उरल्या तर त्यांचा समूह मोठा ठरतो.
‘पियाजे’ यांच्या मते, बालवाडीच्या वयातील मुलांना, जो समूह जास्त जागा व्यापतो तो मोठा असतो असे वाटते. उदाहरणार्थ, तीन वह्या व पाच पेने जवळ जवळ ठेवल्यास वह्यांचा समूह मोठा आहे असे मुलांना वाटते कारण वह्या पेनापेक्षा जास्त जागा व्यापतात. अशा वेळी एका वहीला एक पेन याप्रमाणे जोड्या लावल्यास पेने उरतील, व ती जास्त आहेत, हे मुलांच्या लक्षात येईल. निरक्षर धनगर लोक आपल्या प्रत्येक मेंढीसाठी एक याप्रमाणे खडे पिशवीत ठेवतात व त्या खड्यांच्या आधारे मेंढ्यांचा हिशेब लावतात, असे ऐकले आहे. हेही एकास एक संगतीचेच उदाहरण आहे.
 
गणिती शब्दांचा निकाल
 
अनेक वेळा मुलांना गणित न येण्याचे कारण ‘गणिती भाषेचे आकलन न होणे’ हे असते. जेथे मुलांची बोली व शिक्षकांची भाषा वेगवेगळी आहे, अशा ठिकाणी ही अडचण तीव्र होते. यामुळे शिक्षकाने मुलांची गणिती भाषा विकसित होण्याकडे जाणीवपूर्वक लक्ष दिले पाहिजे. गणितामध्ये जे शब्द वारंवार लागतात. त्यांचा अर्थ मुलांना प्रत्यक्ष कृती, नाट्यीकरण अशा माध्यमांतून समजावून दिला पाहिजे. अनेकवेळा असे दिसून येते की मुलांना बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार यासारख्या क्रिया यांत्रिकपणे करता येतात, पण शाब्दिक उदाहरण दिले असता कोणत्या क्रियेचा वापर करायचा हे लक्षात येत नाही. याचे कारण, मुलांना उदाहरणात घडलेल्या घटनेचा अर्थच लागत नाही. त्यामुळे मुले सोडवू शकत नाहीत. भाषेचा हा अडसर दूर व्हावा म्हणून बालवाडीपासूनच गणिताच्या भाषिक अंगाकडे विशेषत्वाने लक्ष दिले गेले आहे.
 
संख्याज्ञान 
 
विद्यार्थ्यास संख्याचा संबोध स्पष्ट होण्यासाठी खालील बाबींची पूर्तता व्हावी लागते.
 
वस्तू मोजता येणे.
 
संख्येतील स्थापनाची कल्पना येणे.
 
इतर कोणत्या दोन संख्या मिळून ही संख्या बनते हे समजणे.
 
चिन्ह वाचता व लिहिता येणे
 
संख्यांच्या आधीची, नंतरची संख्या सांगता येणे.
 
वरील सर्व कौशल्ये अथवा क्षमता विकसित होण्यात साधनरूप खेळांचे मोठे योगदान आहे. एखादी संकल्पना अमूर्त पाळीवर विकसित होण्यापूर्वी, प्रत्यक्ष अनुभवाद्वारे, मूर्त वस्तूंच्या हाताळणीद्वारे त्या संकल्पनेच्या विकासास सुरूवात होते. अनेक वेळा या संकल्पनेच्या विकासमार्गात अर्धअमूर्त अशा साधनांचा वापर करावा लागतो. उदा. संख्यांचा चढता उतरता क्रम लावण्यासाठी मादाम माँटेसरींनी ‘अंकजिना’ हे साधन दिले आहे. हे, अशाच प्रकारचे अर्धअमूर्त साधना आहे. (मादाम माँटेसरी यांच्या साधनांना ‘वस्तूरूप अमूर्तीकरण केली साधने’ म्हटलं जातं.) यात संख्येचे अर्ध-अमूर्त, रूप पट्ट्यांच्या स्वरूपात मांडले आहे. मुलांच्या संकल्पनांचा विकास सुलभतेने व्हावा, यासाठी अशाप्रकारची साधने फार उपयुक्त ठरतात. संख्यासंबोधनाच्या विकासासाठी प्रत्यक्ष अनुभव, चित्ररूप, अनुभव, अर्ध-अमूर्त साधने व शेवटी अमूर्त पातळीवरील संख्यासंकल्पना असा शिकण्याचा क्रम ठेवल्या संख्येचा संबोध विकसित होणे सहजतेने साधता येते. या अभ्यासक्रमातील संख्या संबोधाच्याबाबतच्या अपेक्षा अमूर्ताकडे होणारा मुलांचा संकल्पना विकास लक्षात घेऊन केल्या गेल्या आहेत.
 
मापन
 
मापन हा गणित तार्किक अनुभवांच्या क्षेत्रातला महत्त्वाचा विभाग आहे. आपल्याकडे या विभागाकडे बालशाळेत फारत क्वचित काही काम होते. प्राथमिक शाळेच्या गणिताच्या अभ्यासक्रमातही या विभागावर पुरेसा भर देण्यात आलेला नाही. यामुळे मापनाच्या अनुभवातून विकसित होणारी अंदाज कौशल्यांसारखी कौशल्ये अविकसित राहतात असा अनुभव आहेत.
 
बालवाडीत मापनाचे अनुभव देताना कोणत्याही प्रमाणित एककाचा वापर करू नये. अंतरासाठी काठी, वीत, पाऊल अशी व्यावहारिक एकके वा वजनासाठी गुंजा, वाटाणे अशी एकके वापरता येतील. मुले मापन करताना त्यांच्याकडून अचूकतेची अपेक्षा करून नये. माप अपूर्ण एककात आल्यास थोडे जास्त वा थोडे कमी असे शब्द वापरून व्यक्त करावयास सांगावे. उदा. ‘टेबलाची उंची पाच काठ्या आणि थोडी जास्त आहे’ असे विधान करणे पुरेसे आहे.
 
एखादे एकक वारंवार वापरल्यानंतर अंदाज करण्यास सांगावे. अनेक मुलांना मोठ्या शिशुगटाच्या अखेरपर्यंत विचारपूर्वक अंदाज करायला जमत नाही. मात्र काही मुले एककाने मोजण्याचा पूर्वानुभव लक्षात घेऊन अंदाज व्यक्त करतात. शिक्षक म्हणून एक महत्त्वाची बाब यात लक्षात ठेवायला हवी. प्रत्येक मुलाला अंदाज व्यक्त करण्याची संधी मिळायला हवी. तर्कसंगत विचार करून अंदाज न करता येणे याचे कारण अनेकदा जैविक परिपक्वताही असते. वय वाढले म्हणजे आपोआप मुलांना हे कौशल्य साध्य होते.
 
संख्यावरील क्रिया
 
संख्यांवर केल्या जाणार्‍या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार या क्रिया अमूर्त पातळीवर करता येणे बालशाळेत अपेक्षित नाही. मात्र या क्रियांशी संबंधित व्यवहार बालवाडीतील मुलांना सहजच करता येतो. मुलांना एकदा २० पर्यंतच्या संख्या परिचयाच्या झाल्या म्हणजे २० पेक्षा कमी संख्यांच्या सहाय्याने या मूलभूत क्रियांशी संबंधित व्यवहार शिकवायला हरकत नाही. मात्र लेखी वा मांडणीच्या स्वरूपात या क्रिया मुलांना शिकवू नयेत. संख्यांवरील क्रियांशी संबंधित असे प्रश्न विचारावेत. असे केल्याने मुले केलेल्या व्यवहारची मनातल्यामनात उजळणी करू शकतात. सामान्यपणे मोठ्या शिशु वर्गाच्या सुरुवातीला बेरीज व वजाबाकीशी संबंधित व्यवहार व मोठ्या शिशु गटाच्या शेवटी गुणाकार भागाकाराशी संबंधित व्यवहार करवून घेण्याचे नियोजन केले तर सोयीचे होते. एक गोष्ट लक्षात ठेवायला हवी की बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार ही नावे देखील मुलांना सांगण्याची गरज नाही. ‘मिळवण्याचा खेळ’, ‘देऊन टाकायचा खेळ’, ‘सारखे वाटायचा खेळ’ ‘गट करण्याचा खेळ’ अशी बोली भाषेतील नावे वापरून काम भागते. एखादा व्यवहार शिकवायला सुरुवात केल्यावर सुमारे महिनाभर तरी वेगवेगळ्या वस्तू वापरून सराव करणे गरजेचे असते.
 
अपूर्णांक
 
‘अर्धी पोळी दे’ असे म्हणणारे मूल त्याच्या गरजेपुरता का होईना अपूर्णांकाचा वापर करत असतेच. अर्धा, पाव या संकल्पना विविध राशींच्या संदर्भात समजून घेणे हा अपूर्णांकाशी संबंधित अनुभव देण्याचा मुख्य हेतू आहे. हे सर्वच शब्द पूर्ण व त्यांचा भाग यांच्यातील संबंध दाखवत असतात. असा संबंध लक्षात आणून देण्यासाठी विविधांगी अनुभवांची गरज असते. पेरूचा अर्धा, कलिंगडाचा अर्धा, दोरीचा अर्धा, कागदाचा अर्धा असा अक संदर्भात अर्धा  शब्द वापरण्याचा अनुभव मिळाला, म्हणजे हळूहळू ‘अर्धा’ या अमूर्त संकल्पनेकडे मुलांची वाटचाल सुरू होते. अंश-छेद मांडणी वा अपूर्णांकाचे वाचन मात्र या वयातील मुलांनी आत्मसाद करणे अपेक्षित नाही.
 
भौमितिक आकार व दृकअवकाशीय समज
 
द्विमितिय भौमितिक आकार व त्रिमितीय भौमितिक आकार यांची नावे परिचित होणे. बालवाडी अपेक्षित आहे. मुलांनीही नावे लक्षात ठेवण्यातून त्यांचा गणिताशी संबंधित शब्दसंग्रह वाढत असतो. या आकारांचा परिचय झाला म्हणजे मुले तोंडी सूचना ऐकून वर्गीकरणाचा खेळ खेळू शकतात. ‘निळ्या रंगाचे पंचकोन वेगळे कर’ अशी सूचना समजण्यासाठी मुलांना पंचकोन हा आकार परिचयाचा हवा.
 
या वयातील मुलाना विविध दृकअवकाशीय अनुभव देणे गरजेचे असते. एकच वस्तू/रचना विविध दिशांनी पाहिल्या असता वेगळ्या वेगळ्या दिसतात ही समज तयार होणे अवघड असते. अनेकदा अनुभव देऊनही सर्वच जमते असे नाही. मात्र या वयातील शिक्षणाचे मुख्य स्वरूप प्रभुत्त्व मिळवण्यापेक्षा अनुभव घेणे, शोध घेणे असे असल्याने सर्व मुलांना दृकअवकाशीय अनुभव देण्यात यावेत.